Capítulo 03
Del bit a la suma: circuitos que hacen matemáticas
Tenemos puertas que responden preguntas de sí o no. El salto que vamos a dar ahora parece imposible y sin embargo cabe en cinco puertas: convertir lógica en aritmética. Al final de este capítulo habrás visto, pieza a pieza, un circuito que suma de verdad.
Contar con dos dedos
Nuestros cables solo distinguen dos estados, así que necesitamos escribir números con solo dos símbolos. Es el sistema binario, y funciona exactamente igual que el decimal, solo que cada posición vale el doble de la anterior en vez de diez veces más:
| Decimal | 8 | 4 | 2 | 1 |
|---|---|---|---|---|
| 3 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 5 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 11 | 1 | 0 | 1 | 1 |
La humanidad lleva milenios representando números por posiciones: es exactamente lo que hace un ábaco, donde cada columna vale diez veces la anterior. El binario solo cambia la base: cada "columna" (bit) vale el doble.
La tabla de sumar más corta del mundo
En binario, sumar dos bits solo tiene cuatro casos:
| A | B | Suma | Acarreo |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
Ahora mira las columnas con ojos del capítulo anterior. La columna Suma… es la tabla de verdad de XOR. Y la columna Acarreo es AND. No hay que inventar nada: la aritmética ya estaba escondida dentro de la lógica.
El sumador completo y la cadena de acarreos
Para sumar números de varios bits hace falta algo más: cada columna debe aceptar también el acarreo que llega de la columna anterior, igual que cuando sumas a mano y te "llevas una". El circuito que suma tres bits (A, B y acarreo entrante) se llama sumador completo y se construye con dos medios sumadores y una puerta OR: 5 puertas en total.
Encadena un sumador completo por cada bit —el acarreo de salida de cada uno alimenta al siguiente— y tienes un sumador de propagación de acarreo (ripple-carry adder): una máquina de sumar de verdad, hecha solo de transistores.
➕ Pruébalo: sumador de 4 bits
Activa los bits de A y B (el bit más a la izquierda vale 8) y mira la suma propagarse.
Restar sin saber restar: complemento a dos
¿Y los números negativos? Aquí la ingeniería hace una jugada maestra. En el convenio de complemento a dos, para negar un número se invierten todos sus bits (¡puertas NOT!) y se suma 1. Con 4 bits, -3 se escribe 1101. Lo asombroso: con esta representación, restar es simplemente sumar el negativo. El mismo circuito sumador que acabas de usar hace también todas las restas. No hay un "circuito de restar" en tu ordenador: no hace falta.
La ALU: una caja de herramientas con selector
Repite la idea con otras operaciones —AND bit a bit, OR bit a bit, desplazamientos, comparaciones— y empaqueta todos esos circuitos juntos con un selector que decide cuál de las salidas usar. Ese bloque se llama ALU (Unidad Aritmético-Lógica) y es, literalmente, la calculadora interna del procesador: le entran dos números y un código de operación, y sale el resultado. En 1971, la ALU del Intel 4004 —el primer microprocesador— formaba parte de un chip con solo 2.300 transistores.